Edutraining pentru Excelenta in Educatie

menu

Matematica cls. VII

Probleme propuse spre rezolvare:

1) Determinati xy numar natural, astfel incat: 10*x+y=(x↑2-x)↑2

2) Sa se calculeze [S], unde S=2/5+1/10+1/20+…+1/(5*2↑(n-2)), unde [x] reprezinta partea intreaga a numarului x

3) In triunghiul ABC se duc inaltimile BH si CK, iar apoi in triunghiul AKH se duc inaltimile KM si HL. Sa se arate ca: AB*AM=AC*AL si LM||BC

4) Sa se arate ca radacina patrata din numarul: A=2015↑n+[(-1)↑(n+1)]*2, nu este un numar rational

5) Sa se arate ca pentru orice numar natural nenul, 35↑n se poate scrie ca diferenta de doua patrate perfecte

6) Daca x este numar natural si 3 nu divide pe x, aratati ca restul impartirii patratului lui x la 3 este egal cu 1. Daca numerele naturale a, b, c nu sunt divizibile cu 3, demonstrati ca radacina patrata a numarului Z=a↑2018+b↑2020+c↑2022+2 este un numar irational

7) In triunghiul ABC se aleg punctele M∈[AB] si N∈[AC], astfel incat AM*AB=AN*AC. Sa se deomnstreze ca patrulaterul MNCB poate fi inscris intr/un cerc. Daca O este punctul de intersectie al diagonalelor acestui patrulater, sa se arate ca: OM*OC=ON*OB, MN*OB=BC*OM si MB*ON=NC*OM

8) Aratati ca radical din numarul A=2016↑n+2015*x↑2+2017 este numar irational oricare ar fi numerele naturale x si n.

9) In paralelogramul ABCD se noteaza cu E intersectia dreptei AD cu bisectoarea unghiului ABC, si cu F intersectia bisectoarelor unghiurilor DAB si ABC. Ce fel de triunghiuri sunt triunghiurile AFB si AEB?

10) Se considera paralelogramul ABCD si punctele M si N situate pe laturile (CD) si (AB). Care dintre ariile triunghiurilor AMB si CND este mai mare? care este relatia dintre ariile triunghiurilor AMB, CND si aria paralelogramului ABCD?

Nota! In limbaj informatic “a↑b” semnifica operatia de ridicare la putere, “a ridicat la puterea b”

Raspunsuri, rezolvari sau indicatii:

1) Egalitatea se aduce in forma: y=x[x*(x-1)↑2-10], singurul numar care o verifica fiind 36

2) Dupa prelucrari convenabile se arata ca numarul pozitiv S este mai mic decat 1, deci [S]=0

3) Tinand cont ca patrulaterele BCHK si KHML sunt inscriptibile in cercuri, rezulta ca triunghiurile ALM si ABC sunt triunghiuri asemenea cu LM||BC si AL/AB=AM/AC

4) Ultima cifra a numarului A este 3 sau 7, care nu poate fi ultima cifra a unui patrat perfect, deci radacina patrata este un numar irational

5) Se considera cazurile n=2k si n=2k+1 si se tine cont ca 35↑2=37↑2-12↑2 si 35=6↑2-1↑2

6) x este fie un numar de forma 3k+1 sau 3k-1, care ridicate la patrat dau un numar de forma 3k+1. Tinand cont de acest fapt, numarul Z este un numar de forma 3t+2, adica de forma 3k+1, deci nu poate fi patrat perfect si radacina lui patrata este in consecinta un numar irational

7) Intrucat triunghiurile AMN si ABC sunt asemenea rezulta ca unghiurile ABC si ANM au aceeasi masura, deci suma unghiurilor opuse in patrulaterul MNCB este de 180° si, in consecinta, el poate fi inscris intr/un cerc. Relatiile rezulta din asemanarea triunghiurilor rezultate din intersectia diagonalelor patrulaterului

8) Ultima cifra a numarului A este 3 sau 8, ceea ce inseamna ca numarul A nu este patrat perfect, deci radical din A este numar irational

9) Dreptunghic si isoscel

10) Cele doua triunghiuri au ariile egale. Suma ariilor lor este egala cu aria paralelogramului

Daca consideri continutul siteului util si vrei sa primesti timp de o luna raspunsuri la una dintre sectiunile din website, poti sa te inscrii…adica sa te urci in edutrain/ul nostru, apasand aici: Vreau sa ma urc in trainul EDU! sau acceseaza pagina Contact/ Inscriere