Edutraining pentru Excelenta in Educatie

menu

Matematica cls. V

Probleme propuse spre rezolvare:

1. Sa se calculeza suma: S = 2019 + 2023 + 2027 +…+ 2119

2. Sa se arate ca numerele de forma 4k+2, 8t+2 si 8n+34 nu pot fi patrate perfecte oricare ar fi k, t, n, numere naturale

3. In limbaj informatic “a↑b” semnifica operatia de ridicare la putere, “a ridicat la puterea b”. Sa se arate ca numarul: 3↑(n+1) · 2↑(2n+1) + 3↑(n+2) · 4↑(n+1)  este divizibil cu 42

4. Aratati ca numerele: 7↑(2n+1) + 9 · 7↑(2n) si [2↑30↑2 · (2↑6)↑100 · 2 + (32↑4)↑100: 2↑500]↑2 + 2↑3004, sunt patrate perfecte

5. Sa se afle perechea de numere (a,b) care indeplineste conditia: daca a=2k+5 si b=k+1, a este divizibil cu b. Sa se afle perechea de numere (c,d) care indeplineste conditia: daca c=2k+5 si d=3k+1, c este divizibil cu d

6. Sa se arate ca numerele de forma abcabc (numar) sunt divizibile cu 11 si cu 13

7. Sa se arate ca numarul 5↑2000 se poate scrie ca a↑2+b↑2 si ca numarul 5↑344 se poate scrie ca a↑3+b↑3+c↑2

8. Aratati ca nu exista patrate perfecte care sa fie numere de forma 3t+2 si 4t+3, cu t numar natural

9. Aratati ca urmatoarele numere nu pot fi patrate perfecte, oricare ar fi numarul natural n: 9n+32, 12n+15, 5n+2, 10↑n+2, 10↑n-2, 2↑(n+1)·5↑n+1, 2↑n·5↑(n+1)+1

10. Aratati ca numerele 8n+13 si 5n+8 sunt prime intre ele, oricare ar fi n, numar natural

Raspunsuri, rezolvari sau indicatii:

1. S = 2019 + (2019+4) + (2019+2·4) + … + (2019+25·4)= 2019 · 26 + 4(1+2+3+…+25)=2019×26 + 4·25·26/2 = 52.494 + 1300 = 53.794

2. 4k+2=2(2k+1), nu este patrat perfect intrucat factorul prim 2 este la puterea impara. 8t+2=2(4t+1), nu este patrat perfect intrucat factorul prim 2 este la puterea impara. 8n+34 = 8n+32+2=8(n+4)+2, este numar de forma 8t+2, care nu poate fi patrat perfect

3. Dupa transformari convenabile cu operatii cu puteri, numarul este de forma: 12↑n · 42, care este divizibil cu 42

4. Dupa transformari convenabile cu operatii cu puteri, primul numar este de forma: (7↑n · 4)↑2, iar cel de/al doilea: (2↑1500·5)↑2

5. Daca b|a, atunci b|m·a-n·b si b|m·a+n·b, de unde rezulta k este divizor al lui 3, deci (a,b)=(5,1) sau (a,b)=(9,3). Analog rezulta: (c,d)=(5,1) sau (c,d)=(13,13)

6. Se dezvolta numarul abcabc in baza zece, apoi dupa transformari convenabile rezulta proprietatea enuntata

7. Pentru prima cerinta se foloseste: 5↑2=3↑2+4↑2, iar pentru a doua: 5↑2=1↑3+2↑3+4↑2

8. Se arata ca nu exista numere naturale de forma k↑2+1, care sa fie divizibile cu 3 sau cu 4

9. Nu exista patrate perfecte a caror descompunere sa contina factori primi la putere impara, care sa se termine in cifrele 2, 3, 7, 8, sau care sa aiba una din formele de la problema 8

10. Se aplica cele din problema 5, si rezulta ca singurul divizor comun al celor doua numere este 1

Daca consideri continutul siteului util si vrei sa primesti timp de o luna raspunsuri la una dintre sectiunile din website, poti sa te inscrii…adica sa te urci in edutrain/ul nostru, apasand aici: Vreau sa ma urc in trainul EDU! sau acceseaza pagina Contact/ Inscriere